Narodil se 17. března 1877 v Bzenci. Studoval na gymnáziu v Uherském Hradišti a maturoval zde 1. července 1896. Teologická studia absolvoval na fakultě v Olomouci, absolutorium složil 1. 7. 1901. Následně přijal kněžské svěcení z rukou arcibiskupa Theodora Kohna 5. července 1901 v Olomouci. Jeho prvním působištěm byla obec Strání u Uherského Brodu, kde působil jako kaplan dva roky. V roce 1902 se stal kaplanem ve Vyškově a pracoval zde téměř deset let. Roku 1912 z Vyškova odešel, protože byl jmenován dómským vikářem v Olomouci. V červnu 1918 se vrátil zpět do Vyškova, ale tentokrát již jako farář. V roce 1937 byl jmenován vyškovským děkanem. Byl znám svým sociálním cítěním, péčí o chudé, staré a opuštěné. Protože se pro ně snažil zajistit lékařskou péči, založil ve Vyškově Charitu a povolal sem řeholnice z Kongregace sester Těšitelek Božského Srdce Ježíšova z Rajhradu. Sestry, pro něž nechal v blízkosti kapucínského kostela zřídit malý klášter s kaplí, se potřebných ujaly. Po zřízení vyškovské nemocnice většina řeholnic přešla pracovat do tohoto zařízení, ale některé se dále věnovaly službě nemocným v domácnostech. Rovněž ve Vyškově významně podporoval První českou měšťanskou a rodinnou školu, která vznikla z iniciativy arcibiskupa Antonína Stojana. Děkanu Bunžovi se podařilo získat pro vedení tohoto ústavu sestry dominikánky. Na této škole učil náboženství, a to jak na rodinné, tak na měšťanské. Angažoval se také v městské samosprávě, v letech 1935–1936 zastával funkci místostarosty ve Vyškově. Zajímal se také o regionální historii (sepsal malou knížku o náboženské sektě Bratří lulečských a zabýval se osudy pálečských habánů-keramikářů) a byl členem městského muzejního spolku ve Vyškově. Napsal několik historických prací pojednávajících o osudech místních řemeslníků. Za nacistické okupace neskrýval své vlastenecké cítění. Když měly být bohoslužby slouženy v němčině, prohlásil: Mše svatá je latinská a je stejná pro všechny. Po druhé světové válce se věnoval opravě děkanského kostela, který byl výrazně poškozen. P. Bunža byl jmenován arciknězem prostějovským a čestným kanovníkem kroměřížským. Po dlouhá léta byl předsedou Jednoty katolického duchovenstva olomoucké arcidiecéze a členem výboru kněžské nemocenské pokladny v Přerově. Rovněž patřil k blízkým spolupracovníkům Mons. Jana Šrámka. Jako výrazně exponovaný kněz, který měl navíc několik příbuzných mezi představiteli lidové strany (jeho synovcem byl poslanec JUDr. Bohumír Bunža, který odešel po únoru 1948 a byl v nepřítomnosti odsouzen k trestu smrti) se samozřejmě brzy ocitl mezi duchovními, jež se snažil komunistický režim eliminovat. Dne 11. října 1949 odjel kanovník na schůzi Jednoty katolického duchovenstva do Kroměříže, kde byl zatčen. Nejprve byl převezen k výslechům do Olomouce a pak do Prahy na Pankrác. Zde byl vyšetřován v souvislosti s případem kněžské nemocenské pojišťovny Alois Čáp a spol., v němž bylo 18. ledna 1951 odsouzeno deset kněží. P. Bunža se však přelíčení nedožil, protože po tvrdých nočních výsleších 17. října 1950 zemřel v pankrácké vězeňské nemocnici. Úřední zpráva, jež přišla na národní výbor ve Vyškově, uváděla jako údajnou příčinu smrti rakovinu močového měchýře. V jeho pitevním protokolu z 19. října 1950 je však uvedeno, že zemřel v důsledku otoku mozku, plic a zlomení krční páteře. Hnisavý zánět mozku a plic se u něj objevil zřejmě následkem vyčerpání a podvýživy v průběhu výslechů. Alarmující je zaznamenaná zlomenina krčního obratle s výronem, k níž muselo dojít zřejmě hrubým zacházením při vyšetřování a pádem. P. Bunža je pohřben ve společném hrobě v Praze–Ďáblicích. U příležitosti 860 let trvání města Vyškova byla in memoriam P. Bohumíru Bunžovi udělena pamětní medaile starosty města Vyškova. Toto ocenění převzala neteř Růžena Bunžová, trvale žijící v USA.