Narodil se 28. července 1929 ve Zlámance u Kroměříže. Otec pracoval jako krejčí, matka se starala o hospodářství a domácnost, měl starší sestru. Do obecné školy chodil ve Zlámance. Od roku 1940 studoval na Arcibiskupském gymnáziu v Kroměříži, po jehož uzavření nacisty přešel na státní gymnázium tamtéž. V srpnu 1944 prodělal zánět slepého střeva a vzhledem k pozdnímu zjištění onemocnění mu hrozila otrava, jen díky okamžité operaci v Kroměříži byl zachráněn. Po válce dokončil studia opět na Arcibiskupském gymnáziu a v roce 1948 zde odmaturoval. Pro cestu kněžství se rozhodl po svém onemocnění, kdy prožíval okamžiky blízké smrti, a také díky příkladu profesorů-duchovních, kteří jej vyučovali na gymnáziu. V letech 1948–1950 studoval v kněžském semináři v Olomouci. Největší vliv při kněžské formaci na něj měl arcibiskup Josef Matocha a spirituál P. Ferdinand Bílek. Po zrušení kněžského semináře v létě 1950 odmítl nastoupit na jediný povolený kněžský seminář v Praze a začal pracovat v Sigmě Lutín. V září 1950 byl povolán k PTP, kde setrval až do prosince 1953, kdy prošel krátkým výcvikem v Mimoni, a dále pak pracoval u zedníků jako pomocný dělník nebo dřevorubec, např. v Luštěnicích u Mladé Boleslavi, Zákupech nebo v Praze-Kbelích. Po návratu z vojny žil ve Zlámance a pracoval jako kulturní pracovník v galerii v Kroměříži a ve Zlíně. Obstarával administrativní práci, ale měl na starosti i organizaci výstav, např. Maxe Švabinského, Joži Úprky, Karla Svolinského nebo barokního umění střední Moravy. Od bohosloveckých studií patřil k okruhu aktivních katolických kněží a laiků na Moravě, tzv. Společenství, vedenému Vladimírem Neuwirthem, kteří se po komunistickém převratu připravovali na období skryté činnosti – měli i po likvidaci semináře dále studovat teologii, číst Bibli, encykliky, dělat překlady zahraniční literatury a sledovat domácí náboženskou literaturu. Také si kladli za cíl rozvíjet duchovní život, vzájemně se podporovat a povzbuzovat se. J. Veselý se staral o formaci bývalých bohoslovců, které navštěvoval na Ostravsku, Opavsku a Kroměřížsku: přivážel jim literaturu, informoval je o dění v rámci Společenství, o situaci v církvi i o politických změnách. Z tohoto okruhu bohoslovců se později stali kněžími např. P. Radim Hložánka, P. Jan Novák, P. František Bršlica, P. Bedřich Jagoš, P. Antonín Hýža, P. Alois Cinciala, P. Ladislav Kocfelda, P. Cyril Vrbík. Duchovní vedení a rady jim poskytovali bývalí profesoři P. Pluhař, P. Bílek  P  Batušek. Pro členství ve Společenství byl 30. ledna v roce 1961 spolu s dalšími členy zatčen a převezen do vazby do Ostravy. Při vyšetřování prožil psychický nátlak vyšetřovatelů, ponižování a zesměšňování. Ve vazbě napsal také své první verše. Dne 25. července 1961 byl odsouzen za velezradu v rámci třináctičlenné skupiny členů Společenství v čele s Dr. Neuwirthem u  Krajského soudu v Ostravě na 13 let, Vladimír Neuwirth a P. Vícha dostali 14 let, P. Bílek 10 let. Po odsouzení byl převezen do Valdic a čtyři roky zde pracoval na brusírně. Díky setkáním s předními českými teology, např. s ThDr. Josefem Zvěřinou, ThDr. Otou Mádrem, františkánem P. Janem Bártou, ThDr. Karlem Otčenáškem, ThDr. Antonínem Mandlem, jezuitou P. Františkem Šilhanem a jejich přednáškám ve Valdicích tajně dál studoval teologii. Během věznění byl 8. prosince 1962 ve Valdicích tajně vysvěcen biskupem Korcem na kněze. Toto svěcení však zůstalo po celou dobu komunismu v utajení. Na svobodu byl propuštěn na amnestii v září 1965. Po návratu z vězení pracoval jako dělník v Prefě v Kroměříži na výrobě betonových dlaždic a následně ve vinných sklepech v Kroměříži. V letech 1968–1970 dokončil svá teologická studia v semináři v Litoměřicích. Jeho kněžské svěcení z vězení zůstalo vzhledem k potřebě krýt světitele i další angažované kněze utajeno, věděl o něm pouze rektor semináře Josef Poul. Pro církevního tajemníka obdržel P. Veselý potvrzení, že byl vysvěcen stejně jako ostatní bohoslovci jeho ročníku 6. září 1969. Od roku 1970 působil postupně ve farnosti Ludgeřovice u Ostravy, odkud byl pro aktivní pastoraci a práci s mládeží v listopadu 1971 byl přesunut do Budišova nad Budišovskou na Opavsku. V roce 1981 byl přemístěn do farnosti Opava-Jaktař a v roce 1987 byl ustanoven děkanem opavského děkanátu a farářem u kostela Panny Marie v centru Opavy. V tomto úřadu setrval až do roku 2005. Během svého kněžského působení se věnoval rodinám, mládeži a návštěvám nemocných v opavské nemocnici. Pracoval v redakci časopisu opavských farností Cesta. V roce 1991 přijal jmenování monsignorem a byl také čestným kanovníkem Kolegiátní kapituly u sv. Mořice v Kroměříži. V roce 2001 obdržel za svůj dlouholetý duchovní a kulturní přínos Opavě literární Cenu Petra Bezruče a v roce 2005 obdržel ocenění České biskupské konference za literární duchovní činnost. Dne 28. října 2009 byl Josefu Veselému propůjčen prezidentem republiky Řád Tomáše Garrigua Masaryka III. třídy. Protože si ze zdravotních důvodů nemohl vyznamenání v Praze převzít, bylo mu předáno prezidentem Václavem Klausem na ostravské radnici 1. února 2010. Krátce nato, 5. únorav2010, Mons. Josef Veselý v ostravské nemocnici zemřel.