Pocházel z rodiny strojního zámečníka Františka Bečky a Marie, rozené Novotné. Obecnou školu a tři třídy reálného gymnázia absolvoval v Hodoníně. Studia dokončil na české občanské škole. V letech 1944 až 1948 se učil automechanikem u několika firem v Hodoníně. Již v době učení byl zaměstnán jako řidič u Československých naftových závodů v Hodoníně. Po vyučení nastoupil jako automechanik u firmy Slovácké družstvo v Hodoníně. Od roku 1945 byl členem mládeže ČSNS. Počátkem srpna 1948 uprchl M. Bečka ještě se dvěma kamarády do zahraničí, kde se postupně dostal až do utečeneckého tábora v Itálii. Vzhledem k neutěšené osobní situaci se v prosinci 1948 za pomoci československého velvyslanectví v Římě dobrovolně vrátil zpět do ČSR. Byl krátce vězněn, po propuštění přislíbil poručíkovi StB Aloisi Dyčkovi, že již nebude nijak pracovat proti poúnorovému režimu v ČSR. Když však v červnu 1949 navštívil Bečku jeho známý a toho času i vojenský zběh Jaroslav Vetejška, obstaral mu úkryt a kontakt na odbojovou organizaci působící v oblasti Dolních Bojanovic. Později podobně obstaral úkryt i svému bývalému spoluvězni Miroslavu Kubičíkovi, který uprchl z pracovního tábora. V srpnu 1949 se Vetejškovi a Kubičíkovi podařil útěk do zahraničí, kde byl Vetejška získán pro spolupráci francouzskou tajnou službou. Po návratu do vlasti kontaktoval Vetejška již jako kurýr opět své bývalé spolupracovníky M. Bečku a Josefa Pospíšila, které informoval o svém poslání. V lednu 1950 došlo k nejzávažnější ilegální akci skupiny. Vetejška měl být Melánií Klouparovou a jejím bratrem M. Bečkou upozorněn na poručíka StB A. Dyčku s tím, že by mohl ohrožovat ilegální činnost odbojové skupiny. Dne 4. ledna 1950 J. Vetejška a Antonín Bušek čtyřmi výstřely Dyčku usmrtili před jeho domem. Dle svědectví Pavla Hubačky měl být Dyčka původně odvezen za hranice a souzen. Dne 7. ledna 1950 byla na M. Bečku uvalena vazba. Samotný proces se skupinou „Vetejška Jaroslav a spol.“, do které byl M. Bečka zařazen, se konal ve dnech 20. až 22. března 1950. Senátu Státního soudu Praha předsedal JUDr. Jaroslav Novák, prokuraturu zastupovali JUDr. Karel Čížek, Ludmila Biedermannová a Jaroslav Růžička. Hlavní líčení probíhalo za účasti předem vybraného publika přímo v Hodoníně. M. Bečka byl pro trestné činy velezrady, vyzvědačství a spoluviny na zločinu úkladné vraždy odsouzen k 30 letům těžkého žaláře, peněžitému trestu ve výši 30 000 Kčs, konfiskaci veškerého majetku a k trestu odnětí občanských práv po dobu deseti let. Podmínečného propuštění se M. Bečka dočkal v červnu 1964. Rehabilitován byl z rozhodnutí Krajského soudu v Brně v lednu 1991. Zároveň mu však byl ponechán tříletý zbytkový trest.