Syn pomocného klempířského dělníka Františka Šilhana a Anny, rozené Spudichové. Obecnou školu navštěvoval v Šumburku. Po absolvování měšťanské školy v Tanvaldu pokračoval ve studiích na německém gymnáziu v Bohosudově. Po kvintě vstoupil do jezuitského noviciátu v Trnavě, dokončil ho na Velehradě. Maturitní zkoušku složil na gymnáziu v Praze-Bubenči. Následné tři roky studoval v Nizozemsku, filozofii v Oudenboschi a teologii v Maastrichtu. Zde byl 15. srpna 1933 vysvěcen na kněze. Po návratu do ČSR v roce 1934 vykonal prezenční vojenskou službu a odjel do Říma, aby se na tamní papežské univerzitě Gregoriána připravoval na dráhu profesora filozofie. Po návratu do ČSR působil rok v duchovní správě u sv. Ignáce v Praze. V roce 1937 absolvoval ve Francii tři řádové probace a rok poté byl ustanoven profesorem na řádovém filozofickém učilišti české provincie v Benešově, kde učil až do roku 1942, kdy bylo učiliště zabráno Němci. Výuka filozofie tak byla přenesena na Velehrad, kde v papežské koleji František Šilhan přednášel až do roku 1945. Na podzim téhož roku byl jmenován provinciálem české provincie Tovaryšstva Ježíšova a zároveň působil u sv. Ignáce v Praze. František Šilhan stejně jako většina ostatních představitelů řádů byl po únoru 1948 obviněn z vyzvědačství pro Vatikán. Jako v případě ostatních obviněných i u něho byly kontakty s představenými v zahraničí omezeny na informování o životě české provincie Tovaryšstva Ježíšova. V jednom případě kromě zpráv náboženského rázu předal chargé ď affaires apoštolské internunciatury Ottaviovi de Liva i zprávu o počtu zatčených kněží Katolické akce, doplněnou o vývoj této akce v ČSR. Po podzimní schůzce u arcibiskupa Josefa Berana v roce 1947 tlumočil řádovým spolubratřím arcibiskupovo přání, aby upevňovali věrnost věřících k církvi a zabraňovali nástupu materialistické ideologie. F. Šilhana rovněž asi dvakrát navštívil člověk vydávající se za zaměstnance nizozemského velvyslanectví, pravděpodobně se jednalo o provokaci ze strany StB, a nabízel mu zprávy o československém vývozu do SSSR. Státní bezpečnost zatkla F. Šilhana až napodruhé na Domažlicku 18. března 1950, když se po prvním nezdařeném pokusu o zatčení snažil opustit území republiky. Byl vyslýchán v Praze-Ruzyni a vzhledem k tomu, že termín procesu „Machalka a spol.“, do kterého byl zařazen, se blížil, absolvoval extrémně tvrdé vyšetřování. Předem připravené soudní přelíčení se skupinou Machalka a spol. se konalo ve dnech 31. března až 5. dubna 1950. Senátu Státního soudu Praha předsedal JUDr. Jaroslav Novák. Žalobci byli tři: JUDr. Karel Čížek, JUDr. Josef Urválek a JUDr. Ludmila Brožová. F. Šilhan byl za zločiny velezrady a vyzvědačství odsouzen k 25 letům těžkého žaláře, peněžitému trestu ve výši 50 000 Kč, konfiskaci veškerého majetku a k trestu odnětí občanských práv po dobu deseti let. Po svém odsouzení prošel věznicemi Praha-Pankrác, Mírov, Leopoldov, Ostrava a Valdice. Propuštěn byl až v roce 1965. V roce 1968 se aktivně podílel na obnově jezuitského řádu, na vytváření malých komunit a v neposlední řadě napomáhal adeptům kněžství ve zprostředkování zahraničních studií. V roce 1971 na vlastní žádost předal úřad provinciála P. Janu Pavlíkovi. S příchodem tzv. normalizace byl internován v Radvanově. Od roku 1979 pobýval v Moravci, kde je také pochován. V roce 1993 byl z rozhodnutí Krajského soudu v Praze plně rehabilitován.