Narodil se 14. února 1924 v Doubravníku. Otec se živil jako dělník u ČSD, matka zůstávala v domácnosti. Po ukončení pěti tříd obecné školy v Doubravníku začal studovat na gymnáziu v Tišnově, kde také v roce 1943 odmaturoval. Koncem téhož roku nastoupil jako pomocná pracovní síla do Vítkovických železáren, v červenci 1944 jej pracovní úřad nasadil do vybombardované továrny na letecké motory u Kuřimi. Několik týdnů pak pracoval ještě u Hnátnice u Ústí nad Orlicí a Brodku u Přerova. Po válce začal učit jako externista na Národní škole v Mikulově a v roce 1946 složil učitelské zkoušky na Učitelském ústavu v Brně. V říjnu téhož roku byl povolán na vojnu, v létě roku 1947 se pak mj. po tři měsíce zúčastnil se svou jednotkou akce proti Banderovcům na Slovensku. Po návratu z vojny v září 1948 nastoupil znovu jako učitel na střední škole ve Valticích. Vedle učitelského povolání se však brzy zapojil také do protirežimních aktivit. Již v roce 1949 převedl několik osob přes státní hranice do Rakouska. Od počátku roku 1950 se pak aktivně zapojil do činnosti odbojové skupiny „Titan“, jejíž akční rádius zahrnoval velkou část jižní Moravy. Vedoucí skupiny Vladimír Zelený mu přiděloval úkoly týkající se převádění osob přes státní hranici a distribuce protirežimních letáků. Josefu Brázdovi se skutečně podařilo přes státní hranice převést některé osoby, které posléze v Rakousku navázaly kontakt s americkou zpravodajskou službou CIC. Vedle převádění rovněž distribuoval protirežimní letáky. Poprvé byl zatčen příslušníky StB již v březnu 1951, tehdy byl ale ještě propuštěn. O dva měsíce později pak byl zatčen definitivně. Vyšetřován byl ve známé vyšetřovně StB v Příční ulici v Brně, kde strávil několik měsíců na samotce. Soud s 29 členy skupiny Titan (Vladimír Zelený a spol.) probíhal u Státního soudu v Brně ve dnech 4.–9. února 1952. Poslední den soudního líčení byl Josef Brázda odsouzen za velezradu na 13 let odnětí svobody. Prokurátor se ale proti výši trestu odvolal. Nejvyšší soud v Praze svým usnesením ze dne 14. května 1952 Brázdovi zvýšil trest odnětí svobody na 16 let. Dalších 9 let byl Josef Brázda postupně vězněn nejdříve na Mírově, a poté v pracovních táborech při uranových dolech na Jáchymově – konkrétně na táboře Nikolaj či trestním táboře L. Na svobodu byl propuštěn díky prezidentské amnestii v květnu 1960. Až do důchodu se pak živil v dělnických profesích.