Narodil se 16. října 1919 v Novém Lískovci u Brna. Otec byl zaměstnán jako řezník na brněnských jatkách, matka se starala o domácnost. Bohuslav měl čtyři sourozence. Obecnou školu vychodil na Mendlově náměstí v Brně a reálné gymnázium absolvoval v Brně na Poříčí, kde v roce 1938 odmaturoval. Gymnázium vystudoval s vynikajícím prospěchem a už na střední škole toužil po kněžském povolání. Od mládí vynikal veselou povahou, odvahou a obětavostí. Po maturitě vstoupil do noviciátu augustiniánského řádu ve Starém Brně, přijal řádové jméno Antonín a následně studoval jako řádový bohoslovec v brněnském alumnátu. Po vysvěcení chtěl odejít působit jako misionář do Afriky. V lednu 1943 byl zatčen gestapem a odvlečen do Osvětimi, prošel také lágry Goleszov u Těšína, Dachau, Buchenwald, Sangerhausen, Errlich a Oranienburg. V Osvětimi unikl dvakrát těsně smrti – nejprve mu na noze začala hnisat rána a hrozilo mu, že bude poslán do plynové komory, ale podařilo se mu obratně přemluvit lékaře, který selekci prováděl, že je schopný práce. Podobně unikl o vlásek smrti, když při vybírání každého desátého vězně k zastřelení stál v řadě devátý. Během věznění pracoval jako zedník, zahradník, kopáč v kamenolomu a skladník. V průběhu evakuace vězňů při transportu vězňů z Oranienburgu se mu podařilo 26. dubna 1945 uprchnout a několik dní se se spoluvězněm ukrýval, než oblast osvobodili Sověti. Po konci války se vrátil přes Polsko do vlasti a 26. května se dostal domů. Od augustiniánů odešel a od října 1946 pokračoval v teologických studiích v kněžském semináři v Brně. Dne 5. července 1947 byl biskupem Skoupým vysvěcen na kněze. Pak nastoupil na místo kaplana ve Slavonicích, kde zůstal až do června 1949. Mezi farníky byl znám svou horlivostí a oddaností kněžské službě. Pomáhal finančně sociálně slabším rodinám, pro děti organizoval besídky a promítání filmů. Někdy nechával na faře přespávat osoby bez přístřeší. Po komunistickém převratu se snažil povzbuzovat věřící k věrnosti církvi a zorganizoval eucharistickou pouť ve Slavonicích. V červnu 1949 byl poprvé vyšetřován v souvislosti se známým pastýřským listem československých biskupů V hodině velké zkoušky, který vzhledem k váhavému postoji biskupa Skoupého odvážně přečetl z balkonu jednoho domů na Zelném trhu v Brně před průvodem tisíce věřících na svátek Božího těla. Bezprostředně po přečtení pastýřského listu byl P. Burian zatčen. Ve vazbě v Brně jej vyšetřovali do listopadu 1949. Poté byl bez odsouzení propuštěn na amnestii prezidenta republiky. Po propuštění se ještě intenzivněji věnoval apoštolátu – chodil na Staré Brno zpovídat a navštěvovat chovance do polepšovny, několikrát se zastavil se svátostmi i v domě, kde žily prostitutky, a vedl s nimi duchovní pohovory. Na Štědrý den 1949 zajel navštívit do brněnské věznice bývalé spoluvězně, rozdal jim štědrovečerní večeři a posloužil jim svátostmi. Koncem března 1950 nastoupil jako kaplan v Moravské Nové Vsi, okres Břeclav, v blízkosti rakouských hranic. I zde pokračoval v aktivní pastoraci. Věnoval se mladým, aktivně se zapojoval do života obce a hrál i v ochotnickém divadelním spolku. Také podporoval rodiny těch, jejichž blízcí byli po komunistickém převratu zatčeni. Negativně na něj působil tlak a kontrola ze strany církevního tajemníka, proto mu lékař doporučil zdravotní dovolenou. V souvislosti s přibývajícími zatčeními kněží a varováním, že i on bude znovu zatčen, se rozhodl odejít za hranice. Dne 9. září 1950 odešel P. Burian do emigrace v Rakousku. Krátce pobýval v kněžském semináři ve Vídni a pak odsud odjel do Salzburku. Do března 1951 žil v klášteře pallotinů v Salcburku a pak v Innsbrucku, kde se věnoval náboženské a sociální práci mezi uprchlíky. V roce 1950 navštívil jako poutník v době Milostivého léta Řím. Také studoval na rakouských univerzitách a psal disertační práci o problémech mladého člověka v oblasti sociální psychologie. Po kontaktech s P. Alexandrem Heidlerem se rozhodl uskutečnit několik riskantních cest zpět do ČSR s cílem převést do zahraničí kněze a bohoslovce, jimž hrozilo doma zatčení nebo chtěli dále studovat a nebylo jim to umožněno. Z Rakouska uskutečnil na československé území čtyři cesty a pomohl se svými spolupracovníky, např. převaděčem Ferdinandem Bartálským či brněnským premonstrátem P. J. H. Vozdeckým a slovenským salesiánem Revesem, k útěku asi jedenácti osobám, z nichž mnohé se ukrývaly před zatčením nebo už byly vyšetřovány. Mezi úspěšně převedenými bylo také pět kněží a jeden bohoslovec. Při svých cestách domů se většinou ukrýval u paní Búzkové v Brně, při jedné z cest navštívil i matku. Převáděné osoby většinou přecházely na jižní Moravě nebo na západním Slovensku při hranici s Rakouskem. Při své čtvrté cestě do Československa byl P. Burian 12. prosince 1951 po delším sledování převaděčské skupiny v Rakousku zatčen sovětskou hlídkou a předán československé Státní bezpečnosti. Protože byla u něj při zatčení nalezena pistole, kterou si u něj uschoval převaděč, byl později spoluvězni přezdíván „Pistolník“. Po zatčení byl převezen do vyšetřovací vazby v Ruzyni. Zde byl podroben fyzickému i psychickému trýznění, do jídla mu byly dávány drogy oslabující odolnost organismu, byl nucen k doznání špionážních a velezrádných aktivit, jež nikdy nespáchal. Státní bezpečnost vytvořila pětičlennou skupinu, v níž byl také P. J. H. Vozdecký a sestra P. Buriana MUDr. Ludmila Burianová, a 23. října 1952 se u Státního soudu v Praze konalo přelíčení. P. Burian byl jako hlavní osoba procesu odsouzen za velezradu a špionáž k dvaceti letům vězení. (MUDr. Ludmila Burianová byla odsouzena na šest let, protože se s bratrem při jeho tajném návratu do ČSR setkala. Bratr Emil byl poslán na rok do TNP a oba staří rodiče byli půl roku ve vazbě.) Trest si odpykával postupně ve Valdicích, na Mírově, v Ostrově u Karlových Varů na Jáchymovsku, odkud se pokusil v roce 1953 uprchnout. Nejdelší část trestu trávil v Leopoldově. V roce 1956 si požádal o přezkoumání svého procesu. Své žádosti poslal na ministerstvo spravedlnosti a ÚV KSČ, byly však zamítnuty, a proto se rozhodl pro další pokus o útěk. Dne 27. ledna 1959 skutečně z Leopoldova uprchl. Po pěti dnech rozsáhlé pátrací akce byl však dopaden a převezen do Ruzyně, kde jej podrobili krutým výslechům, trpěl zde hladem a delší dobu pobýval na samotce. Z Ruzyně byl převezen zpět do Leopoldova. Za pokus o útěk jej 6. dubna 1959 odsoudil Lidový soud v Hlohovci k dodatkovému trestu čtyř let. Z Leopoldova byl převezen na Mírov. Vysílen vyšetřováním, nedostatkem jídla, nadměrnou fyzickou námahou a dalším trýzněním se nachladil a dostal chřipku, která přešla v zápal plic. P. Burian zemřel 29. dubna 1960 v mírovské vězeňské nemocnici. Rodina byla informována o jeho úmrtí, dokonce mohla v márnici vidět jeho ostatky. Tělo P. Buriana pak věznice vydala pro anatomické účely. Blízkým se nepodařilo zjistit, zda bylo zpopelněno, a ani žádosti o vydání urny nebylo vyhověno.