Syn Františka Zemana a Emílie, rozené Andrlové. Rodiče pracovali v Němčicích na malém hospodářství, ale otec záhy zemřel. František Zeman vychodil obecnou školu v Němčicích a Litomyšli, kde také v roce 1933 dokončil reálné gymnázium. Po maturitě pokračoval ve studiu na PF UK v Praze. V roce 1938 byl promován na doktora práv. Během okupace byl zaměstnán v Ústředí poštovních a telegrafních zřízenců, jako praktikant u Okresního soudu v Litomyšli a jako kancelářský zaměstnanec u firmy Fauhamer. Zeman se v květnu 1945 stal předsedou Revolučního národního výboru v Němčicích a v témže roce obnovil i své předválečné členství v ČSNS. V srpnu 1945 nastoupil jako právník ONV v Litomyšli, kde byl v roce 1947 jmenován komisařem politické správy. Po únoru 1948 přestoupil do KSČ a stal se předsedou MNV v Němčicích. Díky své funkci na ONV v Litomyšli se Zeman seznámil s Jaroslavem Kopeckým. Když v červenci 1949 začalo zatýkání některých členů ilegální skupiny v rámci akce Malíř č. 1, zprostředkoval úkryt pro Otakara Kobylku a zajišťoval kontakty mezi ním a Kopeckým. Rovněž ukrýval samizdatové tiskoviny. Státní bezpečnost Zemana zatkla 9. prosince 1949. Byl zařazen do druhé skupiny souzené v rámci akce Malíř č. 1. Hlavní líčení s touto skupinou se konalo u Státního soudu v Praze ve dnech 10.–12. července 1950. Soudnímu senátu předsedal JUDr. Jaroslav Novák, státní prokuraturu zastupoval JUDr. Karel Čížek. Za zločin velezrady byl Fr. Zeman odsouzen k doživotnímu těžkému žaláři, peněžitému trestu ve výši 20 000 Kčs, konfiskaci veškerého majetku a odnětí občanských práv po dobu deseti let. Trest mu byl později snížen na 25 let těžkého žaláře. Vězněn byl na Mírově. V květnu 1960 byl podmínečně propuštěn na amnestii prezidenta republiky, zemřel v listopadu 1972. Dne 6. září 1990 jej Krajský soud v Hradci Králové plně rehabilitoval.